玻色—爱因斯坦凝聚中的变分问题研究

【摘要】本文主要研究R2中一类描述玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einsteincondensation,简记为：BEC)的能量泛函在L2-范数约束下的极小化问题。所涉及的内容包括极小可达元的唯一性、对称性及其爆破行为分析等。我们考虑R2中能量泛函其中参数a为非零实数,H为适当的函数空间,位势函数V(x)满足：泛函(1)即为著名的Gross-Pitaevskii(GP)-能量泛函,用于描述BEC中系统的能量。参数a>0表示BEC中原子间为吸引力作用,a<0则表示排斥力作用。本文将主要研究吸引力作用下(a>0)的GP-能量泛函极小化问题：极小化问题(2)的可达元,以下也称之为问题(2)的解。本文的结果主要有以下几个方面：第3章,我们首先讨论了问题(2)的解与相应Schrodinger方程基态解之间的关系,证明了问题(2)的解即为相应Euler-Lagrange方程(Schrodinger方程)的基态解；反之亦然。其次,利用隐函数定理及算子扰动的技巧,我们还证明了当a>0很小时,问题(2)有唯一正解。第4章,我们研究了环形位势下的泛函极小化问题(2),即位势V(x)=(|x|A)2且A>0。文献[48]考虑了当V(x)为多项式时问题(2)解的爆破行为,但是其证明方法依赖于“V(x)仅有有限个全局极小值点”,而环形位势V(x)有无穷多个全局极小值点(零点),因而其方法不能直接套用。这种情形下,我们通过两次能量估计的办法得到e(a)上下一致的能量界,进而利用爆破分析的技巧证明了当a↗a*时,问题(2)的非负解在圆周{x∈R2：|x|=A}上某点处爆破。进一步,结合第3章所得到的唯一性结论我们发现,当参数a从0逐渐逼近a*时,问题(2)的非负解会产生“对称破缺”现象。第5章,主要考虑V(x)具有“片状”零点的位势即：存在有界区域Ω(?)R2,使得Ω={x∈R2：V(x)=0}。与环形位势情形相比,由于V(x)在整个区域Ω上达到极小,这给分析问题(2)解的爆破行为带来了新的困难。在第4章工作的基础上,我们首先通过比较原理得到问题(2)的非负解在无穷远处适当的下界估计,进而可以建立e(a)精细的能量估计；最后我们证明了当a↗a*时,问题(2)的非负解在Ω的最大内切圆圆心处爆破。第6章,我们考虑了如下一般的泛函极小化问题：其中q∈(0,2),Eq(·)定义为：这里V(x)满足设uq(x),q∈(0,2)为(3)的非负解。对固定的a∈(0,a*),我们证明了limda(q)a↗2=da(2)且uq(x)在H中收敛到da(2)的非负解。另外,若固定a∈(a*，∞),并让q↗2,我们首先得到da(q)精细的能量估计,进而证明了uq(x)在V(x)的一个极小值点处爆破,进一步设V(x)为多项式位势,则uq(x)在V(x)“最平坦”的极小值点处爆破。
【作者】曾小雨；
【导师】周焕松；
【作者基本信息】中国科学院研究生院（武汉物理与数学研究所），应用数学，2014，博士
【关键词】约束变分问题；基态解；唯一性；对称破缺；爆破分析；

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